تبلیغات
ریاضی و هوش - عدد ژژچچج
دوشنبه 9 آبان 1390

عدد ژژچچج

   نوشته شده توسط: سیدمحمدامین شاهمرادی    نوع مطلب :مطالبی جالب درباره ی ریاضی ،

عدد   پی   بدون تردید یکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین اعداد ریاضی است. محققین بسیاری در گوشه و کنار جهان از زمان باستان تا به امروز (و بویژه در سالهای اخیر پس از پیدایش کامپیوتر) میلیونها ساعت از وقت خود را صرف مطالعه این عدد اسرارآمیز کرده اند و هر چه بیشتر در باره اش تحقیق میکنند و بیشتر میفهمند، به پیچیدگی و اسرارامیز بودن آن بیشتر افزوده میشود. بیش از 200 بیلیون از ارقام بعد از ممیز آنرا کشف کرده اند اما هرگز انظباطی در ترتیب آنها مشاهده نشده است. چرا ریاضیات که سراسر انظباط است گاهی این چنین بی انظباط میشود که در بیش از 200 بیلیون رقم هم هیچ ترتیبی مشاهده نمیشود؟ تازگی ها محققینی که در باره عدد پی  تحقیق میکنند، به فکر افتاده اند که ممکن است بتوانند گروههایی از ارقام پی را پیدا کنند که به همان صورت گروهی و به شکلی منظم و با قاعده تکرار شوند. آنها این را "نظمی در بی نظمی" نامیده اند اما هنوز نتیجه قطعی حاصل نشده است. با اینهمه آیا این شگفت انگیز و اسرار آمیز نیست که در میان اینهمه بی نظمی ارقام پی، رقمهای 358 ام، 359 ام و 360 ام بعد از ممیز این رشته بی انتها بترتیب اعداد 3 و 6 و 0 هستند که عدد (360) را تشکیل میدهند که درجات موجود در دایره است؟! آیا این یک تصادف است یا یک راز؟  در زیر، عدد پی را تا 360  رقم بعداز ممیز در شش ردیف شصت تایی مشاهده میکنید. بخصوص به سه رقم آخر آن توجه فرمایید :  

 

 

 

حالا شما اگر آرک تانژانت یک، دو و سه را با هم جمع کنید همین عدد اسرار آمیز بسادگی پیدا میشود:

 

                                         

              

نه تنها این معادله به خودی خود زیباست بلکه برهان آن نیز بسیار زیباست خصوصن که به "برهان بی کلام"شهرت یافته است یعنی بوسیله یک "شکل" و در کمال ایجاز این فرمول ثابت میشود                                                                                                                                     

 

یکی از شاگردان من که هزار رقم بعد از ممیز عدد پی را فقط بخاطر تفنن و اینکه قدرت حافظه اش را نشان بدهداز حفظ کرده بود میگفت که برای از حفظ کردن آنها یک "ریتمی" را پیدا کرده است و وقتیکه 45 دقیقه وقت خواست تا در حضور عده ای منجمله روزنامه نگاران آن هزار رقم را روی تخته بنویسد، گروه گروه ارقام را مینوشت و بین این گروهها جاهایی را خالی میگذاشت و بعد بر میگشت و آن جاهای خالی را با ارقام دیگری پر میکرد تا هزار رقم کامل شد. قابل توجه است که بدانید رکورد حفظ کردن ارقام بعد از ممیز عدد پی متعلق به یک ژاپنی بنام Hiroyuki Goto  است که در سال 1995 توانست 42195 رقم را حفظ کند.

                                                                                                             

                                                             ***************          

 

       در حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ثابت کرد که اعداد اول پایان ناپذیرند. برهان او تا به امروز یکی از زیبا ترین برهان های علم ریاضی و از شاهکار های ریاضیات استدلالی است که بواسطه سادگی و ایجاز، بسیار قابل تحسین است. البته برهان های دیگری هم هستند که در مقام خود زیبا و ستودنی میباشند ولی برهان اقلیدس چیز دیگری است. او چنین استدلال کرد: اعداد اول بی پایانند اما اگر کسی ادعا کند که پایانی بر اعداد اول وجود دارد، اجازه دهید آن "بزرگترین" عدد اول را   PL   بنامیم( مخفف The Last Prime )، پس سلسله اعداد اول از ابتدا تا انتها خاهد شد :

 

                                                                                         

     

حالا همه این اعداد را در هم ضرب کرده و به حاصلضرب آنها یکواحد اضافه میکنیم و نام این عدد جدید را Q میگذاریم :

                         

  Q عدد جالبی است. اگر آنرا بر هر یک از اعداد اول موجود (از  2  گرفته تا  PL ) تقسیم کنیم، باقیمانده هر تقسیم برابر یک خواهد شد. پس  Q  خود "اول" است و بدیهی است که از  PL  هم بزرگتر است( چون برابر است با حاصلضرب    PL در تمام اعداد اول موجود قبل از آن، به اضافه یک ). پس PL  بزرگترین عدد اول نیست و Q  از آن بزرگتر است. این روش استدلال ریاضی را در فارسی، برهان خلف ، در انگلیسی Proof by Contradiction و در لاتین Reductio ad Absurdum میگویند.

 

شگفتیهای ریاضیات چون سلسله اعداد بی پایانند. تردید دارم که در سایر رشته هایی که از نبوغ بشر سرچشمه گرفته و زاده شده اند، اینهمه رمز و راز و شگفتی پیدا شود که در ریاضیات هست. باید ریاضیات را مطاله کرد تا به این زیبایی ها و شگفتی ها پی برد.

 

"نسبت طلایی" که به حرف یونانی فای نشان داده میشود و امیدوارم در فرصت مناسبی بتوانم مقاله ای جداگانه در باره آن خدمتتان تقدیم کنم، یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر  1.618  و تحقیقا" برابر

                                                                     

که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

 

مربع ABCD  را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O  وسط ضلع CB  است. به مرکز این نقطه و به شعاع  OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD  یک  "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر  1.618  میباشد.

                                          

 گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به  1.6  بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه  DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت  27 cm  به  19 cm  است که برابر  1.42 میباشد)

 

                    

 و نیز وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

                                     

 حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم  "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

 

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181                        

 

اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته  اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را  81  انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

 

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …                                                                                           

 

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

 

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال  تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                 

 

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                        

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

 "جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

 

آیا میتوان این پدیده ها را جز "زیبا و شگفت انگیز" چیز دیگری نامید؟


snow man
یکشنبه 28 خرداد 1391 12:57 ب.ظ
thisssssssssssssssssssssssssss web is very goooooooooooooooooooooooooooooood
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نظرات پس از تایید نشان داده خواهند شد.